\section{附录：行列式的刻画}

\begin{frame}{行列式的刻画}
  \begin{theorem}[用关于行的性质刻画行列式]
    设$d\colon P^{n\times n}\rightarrow P$满足：
  \begin{enumerate}
  \item  $d$对行有多线性性（即对各行具有线性性）；
\item  $d$对行具有交错性（即有两行相同的方阵的行列式为$0$）. 
\end{enumerate}
  那么$d=d(E)\det$; 
  \pause
  特别地，若$d$还满足规范性 (即$d(E)=1$), 则$d=\det$.
  \label{1B4}
\end{theorem}

\pause
行列式中行与列有同等的地位，我们当然也可用关于列的性质刻画行列式。

\begin{theorem}[用关于列的性质刻画行列式]
  若$d\colon P^{n\times n}\rightarrow P$满足对列的多线性性和交错性，则$d=d(E)\det$;
若$d$还满足规范性，则$d=\det$.
  \label{1B3}
\end{theorem}


\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}
  验证准上三角矩阵的行列式的公式：
  \[
    \det \begin{pmatrix}
    A  & B\\ O & D
  \end{pmatrix} =\det A\det D,
\]
  其中$A, D$是方阵。
  \pause
  借助转置可知准下三角矩阵的行列式公式：
  \[
    \det \begin{pmatrix}
    A  & O \\ C & D
  \end{pmatrix} =\det A\det D.
\]
\end{example}

\begin{proof}
  我们有
  \[
    \begin{aligned}
      \det \begin{pmatrix}
        A & B\\
        O & D
    \end{pmatrix}
\pause
    \overset{\circled{1}}{=} \det D\det \begin{pmatrix}
        A & B\\
        O & E
      \end{pmatrix}
      \pause
      \overset{\circled{2}}{=} \det D\det A\det \begin{pmatrix}
        E & B\\
        O & E
      \end{pmatrix}
      \pause
      = \det D\det A,
    \end{aligned}
  \]
  其中 \circled{1} 利用了对$D$的行有多线性性和交错性，
  \circled{2} 利用对$A$的列有多线性性和交错性。
对多线性性和交错性的验证留给读者。
\end{proof}

\end{frame}
\begin{frame}

\begin{proof*}[定理~\ref{1B4}~的证明]
  我们有
  \[
    \begin{aligned}
      &\quad d\begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
      \end{pmatrix}
      \pause
      \overset{\circled{1}}{=} 
      \sum_{j_1=1}^n 
      d\begin{pmatrix}
        &  & a_{1j_1} & \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
         \vdots & \vdots &  & \vdots \\
         a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
       \end{pmatrix}\\
       \pause
       &=  \sum_{j_2=1}^n \sum_{j_1=1}^n 
      d \begin{pmatrix}
        &  &a_{1j_1} & \\
        & a_{2j_2} &   & \\
        a_{3 1} & \cdots & \cdots & a_{3n}\\
        \vdots &  &  & \vdots \\
        a_{n1} & \cdots & \cdots  & a_{nn}
       \end{pmatrix}
       = \cdots
      \pause = \sum_{j_n=1}^n \cdots \sum_{j_2=1}^n \sum_{j_1=1}^n
      d\begin{pmatrix}
        &&  a_{1j_1} & \\
        & a_{2j_2} & & &\\
        && \vdots & \\
        &&& a_{n j_n} &\\
       \end{pmatrix} \\
       \pause
       & \overset{\circled{2}}{=} \sum_{j_1j_2\cdots j_n} 
      d\begin{pmatrix}
        & & a_{1j_1}& \\
        & a_{2j_2} \\
        && \vdots \\
        &&& a_{nj_n} & 
       \end{pmatrix} 
       \pause
       \overset{\circled{3}}{=} \sum_{j_1j_2\cdots j_n} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} 
       d \begin{pmatrix}
         & &1_{1j_1}\\
         & 1_{2j_2} \\
        && \vdots \\
        &&& 1_{n j_n} &
       \end{pmatrix}\\
       \pause& \overset{\circled{4}}{=}
       \sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} d(E)
       \pause
       = \det(A)d(E),
    \end{aligned}
  \]
\end{proof*}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[定理~\ref{1B4}~的证明 (续)]
      其中 \circled{1} 用到了对第一行的线性性，
  \circled{2} 用到了交错性（如果$j_k=j_l$对某两个$k\neq l$, 那么该项行列式为$0$,
  因为该项中第$k, l$列只相差个倍数），
  \circled{3} 提取了每行的一个公因子，
  \circled{4} 对矩阵$\begin{pmatrix}
    & & 1_{1j_1}\\
    & 1_{2j_2} \\
        && \vdots \\
        &&& 1_{n j_n} &
       \end{pmatrix}$做了一系列这样的操作：若$j_{k_1}=1$且$k_1\neq 1$, 交换第$1$行与第$k_1$行；
  若$j_{k_2}=2$且$k_2\neq 2$, 交换第$2$行与第$k_2$行，\ldots; 
  最终经过若干次交换两行使得$\begin{pmatrix}
    &   & 1_{1j_1}\\
    &   1_{2j_2} \\
        && \vdots \\
        &&& 1_{n j_n}& 
      \end{pmatrix}$变成了单位矩阵，且这个交换的次数的奇偶性与排列$j_1j_2\cdots j_n$的奇偶性相同。
  \end{proof*}
\end{frame}



\begin{frame}
  通过转置不改变行列式我们可以把关于行的结果转化为关于列的结果，或者反过来。

\begin{proof*}[定理~\ref{1B3}~的证明]
  考虑转置$(-)^{\rT}\colon P^{n\times n}\rightarrow P^{n\times n}$. 
\pause
  令
  \[
    d'= d\circ (-)^{\rT}\colon P^{n\times n}\overset{(-)^{\rT}}{\longrightarrow} 
    P^{n\times n}\overset{d}{\longrightarrow} P.
  \]
  那么$d'$满足对行的多线性性和交错性，
  因而由定理~\ref{1B4}~知
  \[
    d'=d'(E)\det=d(E)\det.
  \]
  \pause
  又$d=d'\circ(-)^{\rT}$, 我们有
  \[
    d(A)=d'(A^{\rT})=d(E)\det(A^{\rT})=d(E)\det A.
  \]
  \pause
  这就证明了$d=d(E)\det$. 
\end{proof*}

\end{frame}


